Você conhece a desigualdade de Chebyshev?

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O matemático russo Pafnuty Chebyshev desenvolveu uma desigualdade que nos diz a proporção dos valores de uma distribuição que ficam entre a média e até k desvios padrões distante da média. De acordo com essa desigualdade, para qualquer distribuição de variância finita, a proporção de observações que ficam até k desvios padrões da média é pelo menos 1 – 1/k2 para todo k>1. A importância dessa desigualdade vem de sua generalidade. Repare que a desigualdade se aplica independentemente da distribuição dos dados.

A tabela abaixo ilustra a proporção de observações para diferentes valores de k e como isso se compara a uma distribuição gaussiana (normal).

Quando k = 2, por exemplo, a desigualdade de Chebyshev atesta que pelo menos 75% das observações devem estar entre a média e 2 desvios padrões acima ou abaixo da média. Na distribuição normal 95,45% das observações ficam nesse intervalo.

Um exemplo prático

No último ano, a média dos retornos diários do Ibovespa foi de 0,04% e o desvio padrão diário foi de 2,73%. De acordo com a desigualdade de Chebyshev, em pelo menos 75% dos dias o retorno diário tem que ficar entre -5,42% e +5,50%. Se a distribuição fosse normal, o investidor deveria esperar o retorno entre esses valores 95,45% das vezes. No último ano, 94,82% dos dias tiveram retorno entre -5,42% e +5,50%, menos do que o previsto pela distribuição normal, e, claro, acima do mínimo previsto pela desigualdade.